[아름다운 도형이야기1]프랙탈에 대해 알아보아요.

1. 프랙탈은 무엇일까요?

우리 주변의 사물을 자세히 살펴보면 하나를 구성하는 작은 부분들이 또다시 원래의 모양을 이루고 있는 것을 알 수 있습니다. 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 이루는 것을 말합니다.
예를 들면 구름, 산, 번개, 해안선, 나뭇가지 등인데 우리 식탁에 오르는 야채로 브로콜리를 떠올리면 금방 이해가 될 거예요.
한마디로 프랙탈은 전체를 부분부분으로 나누었을 때 부분안에 전체의 모습을 갖는 무한단계에서의 기하적인 도형이라고 정의됩니다.
프랙탈은 라틴어 ‘fractus’에서 따온 것으로 부서진 상태라는 의미이며, 프랙탈 구조를 지닌 도형은 자기유사성과 순환성이라는 특징이 있습니다. 분수를 ‘fraction’이라고 하는데 프랙탈의 차원을 구하면 분수가 된다. 만델브로트는 1975년 프랙탈 이론을 확립한 이후에 경제학, 정보과학, 물리학 등 여러 곳에 프랙탈을 적용했습니다.

2. 프랙탈 도형의 종류는 어떤 것이 있을까요?

• 코흐 곡선(Koch曲線, 영어: Koch curve)은 수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 중의 하나입니다. 1904년 스웨덴의 수학자 헬리에 폰 코흐의 논문 Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire에 처음 등장하여 그런 이름이 붙었지요.

시작하는 도형이 정삼각형인 경우 코흐 눈송이(영어: Koch snowflake)라 하고 아래의 순서대로 코흐 눈송이를 만들어 볼까요?

1. 정삼각형을 그린다.
2. 각 변을 3 등분해서, 한 변의 길이가 이 3등분의 길이와 같은 정삼각형을 붙인다.
3. 2. 의 과정을 무한히 반복한다.

코흐눈송이 4번째까지의 그림

•시에르핀스키 삼각형

1917년경 폴란드의 수학자 바츠라프 시에르핀스키가 제시하여 이름을 붙인 도형입니다. 이 도형은 불규칙이라기보다 오히려 규칙적인 알고리즘을 갖고 있는 것이 특징입니다.
시에르핀스키 삼각형
시어핀스키 아래 순서에 따라 그려볼까요?
(1) 색상 켄트지에 임의의 정삼각형을 그려 오린다.

(2) (1)에서 만들어진 정삼각형의 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그려 합동인 4개의 작은 삼각형을 만든다.

(3) 가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남긴다.

(4) 남아있는 3개의 색칠된 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다.

(5) 이런 과정을 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합이 나타나는데 이것이 시에르핀 삼각형이다

• 시에르핀스키 삼각형

시에르핀스키 삼각형

위에서 살펴보았듯이 프랙탈 기하학은 프랙탈의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나입니다. 오늘날 프랙탈 기하학은 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 합니다. 자연계에서도 프랙탈 구조가 자주 발견되며, 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지등이 해당됩니다. 프랙탈은 실용적인 목적으로 많이 사용되며 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있습니다. 프랙탈 기법은 과학의 여러 분야에서는 물론, 기술적으로 이미지 압축 등에서도 사용됩니다.

자~ 그럼 이제 겨울왕국의 엘사가 만들어낸 프랙탈 얼음도형을 보면서 아름다운 도형 프랙탈 찾아볼까요?^^